Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться методом математической индукции.

Предположим, что квадрат любого числа завершается 99, 999, 9999 и т.д. Для удобства обозначим это число как (n) и его квадрат как (n^2).

База индукции: Проверим утверждение для первых нескольких чисел.

(1^2 = 1) - не заканчивается на 99, 999, 9999 и т.д.
(2^2 = 4) - не заканчивается на 99, 999, 9999 и т.д.
(3^2 = 9) - не заканчивается на 99, 999, 9999 и т.д.

Предположение индукции: Пусть утверждение верно для всех чисел от 1 до (k), где (k) - произвольное целое число.
Это значит, что квадрат любого числа из этого диапазона не заканчивается на 99, 999, 9999 и т.д.

Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно и для числа (k+1).

Пусть (k+1 = m), где (m) - следующее целое число после (k).
Тогда квадрат этого числа будет (m^2 = k^2 + 2k + 1).

Заметим, что последние цифры квадрата числа (k^2) и (2k) не влияют на последние цифры суммы. Таким образом, нам нужно проверить последние цифры только числа 1.

Так как (1^2 = 1), то (m^2) также заканчивается цифрой 1. Это значит, что квадрат числа (m) не заканчивается на 99, 999, 9999 и т.д.

Таким образом, утверждение верно для всех целых чисел, и мы можем сделать вывод, что квадрат любого числа не заканчивается на 99, 999, 9999 и т.д.