Данное уравнение является кубическим уравнением вида ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, где a=1, b=3, c=-4, d=-12.

Для начала проведем поиск рациональных корней уравнения по методу Рациональных корней. По данному методу ищутся все делители свободного члена, в данном случае это -12. Все делители числа -12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Подставим найденные делители в уравнение и найдем, при каком значении х уравнение равно 0:

При x = 1: (1)^3 + 3(1)^2 - 41 - 12 = 1 + 3 - 4 - 12 = -12 ≠ 0
При x = -1: (-1)^3 + 3(-1)^2 - 4(-1) - 12 = -1 + 3 + 4 - 12 = -6 ≠ 0
При x = 2: (2)^3 + 3(2)^2 - 42 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0

Таким образом, x = 2 - рациональный корень уравнения. Далее проведем деление исходного уравнения на (x-2):

(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) / (x - 2) = x^2 + 5x + 6

Теперь нужно решить полученное квадратное уравнение x^2 + 5x + 6 = 0, либо факторизовать его, либо воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = 5^2 - 416 = 25 - 24 = 1

x1,2 = (-b±√D) / 2a

x1,2 = (-5±√1) / 2 = (-5±1) / 2
x1 = (-5+1) / 2 = -4 / 2 = -2
x2 = (-5-1) / 2 = -6 / 2 = -3

Таким образом, корни уравнения x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0: x = 2, x = -2, x = -3.