Сначала найдем вершину треугольника, через которую проходят медиана и высота. Для этого решим систему уравнений медианы и высоты:

x - 5y + 7 = 0
x + 4y - 2 = 0

Из первого уравнения выразим x: x = 5y - 7. Подставим это значение x во второе уравнение:

5y - 7 + 4y - 2 = 0
9y - 9 = 0
y = 1

Теперь найдем значение x, подставив y=1 в первое уравнение:

x = 5*1 - 7 = -2

Таким образом, вершиной треугольника, через которую проходят медиана и высота, является точка В(-2,1).

Теперь найдем координаты третьей вершины треугольника. Воспользуемся свойством, что медиана делит сторону треугольника в отношении 2:1. Найдем координаты середины стороны между вершинами А и В:

x = (4 - 2)/2 = 1
y = (6 + 1)/2 = 3.5

Таким образом, координаты вершины С равны (1, 3.5).

Теперь составим уравнения сторон треугольника:

Строна АВ: y = 7x - 25Сторона ВС: y = -3x + 4.5Сторона СА: y = -7x + 9

Найдем длину высоты треугольника. Для этого найдем координаты точки пересечения медианы и высоты, которая является вершиной треугольника. Подставим y=1 в уравнение медианы: x = 5*1 - 7 = -2.

Теперь найдем координаты точки пересечения медианы и высоты. Решим систему уравнений медианы и высоты:

x - 5y + 7 = 0
x + 4y - 2 = 0

Подставим y=1 в первое уравнение: x = 5*1 - 7 = -2

Таким образом, координаты точки пересечения медианы и высоты равны (-2, 1).

Теперь найдем расстояние от точки пересечения медианы и высоты до вершины С:

d = √((-2 - 1)^2 + (1 - 3.5)^2) = √(3^2 + 2.5^2) = √(9 + 6.25) = √15.25 ≈ 3.9

Итак, длина высоты треугольника равна примерно 3.9.