Для нахождения производной данной функции нужно найти производные каждого из слагаемых и сложить их.

[tex]y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^9}{9}\right) + \frac{d}{dx}\left(\sqrt{2\cos x}\right) + \frac{d}{dx}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) - \frac{d}{dx}\left(2x^4\right)[/tex]

1) Производная от [tex]\frac{x^9}{9}[/tex]:
[tex]\frac{d}{dx}\left(\frac{x^9}{9}\right) = \frac{1}{9} \cdot 9x^8 = x^8[/tex]

2) Производная от [tex]\sqrt{2\cos x}[/tex]:
[tex]\frac{d}{dx}\left(\sqrt{2\cos x}\right) = -\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\cos x}} = -\frac{\sin x}{\sqrt{2\cos x}}[/tex]

3) Производная от [tex]\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)[/tex]:
[tex]\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1[/tex]

4) Производная от [tex]-2x^4[/tex] (минус, так как производная от [tex]-2x^4[/tex] равна [tex]-8x^3[/tex]):
[tex]\frac{d}{dx}\left(-2x^4\right) = -8x^3[/tex]

Итак, производная функции [tex]y=\frac{x^9}{9}+ \sqrt{2\cos x}+\tan\left(\frac{\pi} {4}\right)-2x^4[/tex] равна:
[tex]y' = x^8 - \frac{\sin x}{\sqrt{2\cos x}} + 1 - 8x^3[/tex]