Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.

Обозначим:
[ u = \frac{1}{1+\ln x} \Rightarrow du = -\frac{1}{x(1+\ln x)^2}dx ]
[ dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow v = \ln x ]

Подставляем в формулу интегрирования по частям:
[ \int \frac{dx}{x(1+\ln x)} = \ln x \cdot \frac{1}{1+\ln x} - \int \ln x \cdot \left(-\frac{1}{x(1+\ln x)^2}\right) dx ]

Получаем:
[ \int \frac{dx}{x(1+\ln x)} = \ln x \cdot \frac{1}{1+\ln x} + \int \frac{dx}{(1+\ln x)} ]
[ = \ln x \cdot \frac{1}{1+\ln x} + \int \frac{e^{-\ln x}dx}{1+ln(x\cdot e)} ]
[ = \ln x \cdot \frac{1}{1+\ln x} + \int \frac{dx}{1+\ln(x\cdot e)} ]

Теперь заменим переменную:
[ u = \ln(x\cdot e) \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx ]
[ \int \frac{dx}{1+\ln(x\cdot e)} = \int \frac{du}{1+u} = \ln|1+u| = \ln|1+\ln(x\cdot e)| ]

Итак,
[ \int \frac{dx}{x(1+\ln x)} = \ln x \cdot \frac{1}{1+\ln x} + \ln|1+\ln(x\cdot e)| + C ]

Где С - постоянная интеграции.