Изначальное уравнение можно переписать в виде m^2 + 7m - 139 = n^2.

Для того чтобы найти целочисленные решения этого уравнения, можно преобразовать его в вид (m+3.5)^2 - 3.5^2 - 139 = n^2, после чего можно найти целочисленные значения для которых левая и правая части уравнения целые.

Таким образом, целочисленные решения будут иметь место, когда значение выражения (m+3.5)^2 - 3.5^2 - 139 будет являться квадратом некоторого целого числа n.

Дальнейшие вычисления позволяют получить следующий ряд целочисленных решений для переменных m и n:

(-18, 29), (-12, 24), (-6, 19), (11, 17), (27, 9).

Таким образом, у уравнения m^2 + 7m - 139 = n^2 существуют 5 целочисленных решений.