Для того чтобы данное выражение было положительным простым числом, оно должно быть больше 1 и не иметь делителей, кроме 1 и самого числа.

Рассмотрим выражение [tex]4n^{4} -96n^{2} +1[/tex]. Мы можем выразить его как квадратное уравнение относительно [tex]n^{2}[/tex]:

[tex]4n^{4} -96n^{2} +1 = (2n^{2} - 1)^{2}[/tex].

Таким образом, выражение [tex]4n^{4} -96n^{2} +1[/tex] равно [tex](2n^{2} - 1)^{2}[/tex]. Будем искать наибольшее целое число n, для которого [tex](2n^{2} - 1)^{2}[/tex] - простое число.

Теперь рассмотрим разность квадратов:

[tex](2n^{2} - 1)^{2} = (2n^{2} - 1 + 1)(2n^{2} - 1 - 1) = (2n^{2})^{2} - 1 = 4n^{4} - 1[/tex].

Таким образом, мы ищем наибольшее целое число n, для которого [tex]4n^{4} - 1[/tex] является простым числом.

Наибольшее простое число меньше 100, которое можно представить в виде [tex]4n^{4} - 1[/tex] - это 97. Решим уравнение [tex]4n^{4} - 1 = 97[/tex]:

[tex]4n^{4} = 98[/tex],
[tex]n^{4} = 24.5[/tex].

Таким образом, для целых чисел n решение уравнения не существует. Следовательно, наибольшее целое число n, для которого [tex]4n^{4} - 96n^{2} + 1[/tex] является положительным простым числом, равно 0.