Для начала, найдем общее решение однородного уравнения Y'' - 5Y' + 6Y = 0.

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения будет:

λ^2 - 5λ + 6 = 0

Факторизуем его:

(λ-2)(λ-3) = 0

Отсюда получаем два корня: λ1 = 2 и λ2 = 3.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Yh = c1e^(2x) + c2e^(3x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения, используя метод вариации произвольных постоянных.

Предположим, что частное решение имеет вид Yp = Ax + B, где A и B - коэффициенты, которые нужно найти.

Найдем производные функции Yp:

Yp' = A
Yp'' = 0

Подставим найденные производные в неоднородное уравнение:

0 - 5A + 6(Ax + B) = x

6Ax - 5A + 6B = x

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:

6A = 1 (коэффициент при x)
-5A + 6B = 0 (свободный член)

Отсюда находим A = 1/6 и B = 5/36.

Таким образом, частное решение будет иметь вид:

Yp = (1/6)x + 5/36

Итоговое решение неоднородного уравнения Y'' - 5Y' + 6Y = x будет иметь вид:

Y = Yh + Yp
Y = c1e^(2x) + c2e^(3x) + (1/6)x + 5/36

где c1 и c2 - произвольные постоянные.