Дано: sin 42° и sin 48° являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0

Известно, что сумма корней квадратного уравнения равна -b/a, поэтому:
sin 42° + sin 48° = -b/a

Также известно, что произведение корней квадратного уравнения равно c/a, поэтому:
sin 42° * sin 48° = c/a

Теперь мы можем выразить b и c через a:
-b = a(sin 42° + sin 48°)
b = -a(sin 42° + sin 48°)

c = a(sin 42° * sin 48°)

Теперь докажем, что b² = a² + 2ac:
b² = (-a(sin 42° + sin 48°))²
b² = a²(sin² 42° + sin² 48° + 2sin 42°sin 48°)
b² = a²(sin² 42° + sin² 48°) + 2a²sin 42°sin 48°
b² = a²(1 - cos² 42° + 1 - cos² 48°) + 2a²sin 42°sin 48°
b² = a²(2 - (cos² 42° + cos² 48°)) + 2a²sin 42°sin 48°
b² = a²(2 - 1) + 2a²sin 42°sin 48°
b² = a² + 2a²sin 42°sin 48°
b² = a² + 2ac

Таким образом, было доказано, что b² = a² + 2ac.