Давайте рассмотрим значение выражений:
tg x + √3 = m,
ctg x + √3 = n,
где m и n - целые числа.

Перепишем данные уравнения в виде:
tg x = m - √3,
ctg x = n - √3.

Теперь возведем оба уравнения в квадрат:
(tg x)^2 = (m - √3)^2,
(ctg x)^2 = (n - √3)^2.

Учитывая, что tg^2 x = 1/(ctg^2 x), получаем:
1/(ctg^2 x) = (m - √3)^2,
ctg^2 x = 1/(m^2 - 2m√3 + 3).

Подставим полученное выражение во второе уравнение:
1/(m^2 - 2m√3 + 3) = (n - √3)^2.

Данные уравнения не имеют решений среди целых чисел, так как деление целого числа на √3 не может дать целое число, за исключением случая, когда числитель равен 0, что в данной ситуации невозможно. Следовательно, не существует такого числа x, при котором значение выражений tg x + √3 и ctg x + √3 являются целыми числами.