Судя по данным утверждениям, только одно из них является верным. Исходя из этого, можно сделать следующие выводы:

Если Алексей - старшина, то первое утверждение верно, что означает, что Владимир не старшина и Семён старшина. Но так как должно быть только одно верное утверждение, это не может быть решением.

Если Владимир - старшина, то второе утверждение верно, что означает, что Алексей не старшина и Семён не старшина. Это утверждение может быть верным.

Если Семён - старшина, то третье утверждение верно, что означает, что Алексей старшина и Владимир не старшина. Но это также не может быть решением, так как только одно утверждение должно быть верным.

Итак, Владимир не старшина, значит правдивы утверждения "Алексей - старшина" и "Семён не старшина", что означает, что Владимир - сержант.

Таким образом, звания у братьев:
Алексей - старшина,
Владимир - сержант,
Семён - капитан.