Для того чтобы найти область определения данного выражения, нужно найти значения переменной x, при которых всё выражение будет определено.

Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю: 3(x+2)/(x+4) - x >= 0

Решим это неравенство:

3(x+2)/(x+4) - x >= 0
(3x + 6)/(x + 4) - x >= 0
(3x + 6 - x(x + 4))/(x + 4) >= 0
(3x + 6 - x^2 - 4x)/(x + 4) >= 0
(-x^2 - x + 6)/(x + 4) >= 0
-(x^2 + x - 6)/(x + 4) >= 0
-(x + 3)(x - 2)/(x + 4) >= 0

Найдем точки разрыва функции, они равны x = -3, x = 2 и x = -4. Разобьем ось действительных чисел на интервалы с учетом этих точек разрыва:

(-бесконечность, -4)(-4, -3)(-3, 2)(2, +бесконечность)

Возьмем по очереди каждый интервал и найдем знак у числителя многочлена:

x = -5 : (-1)(-8) / -1 = 8 > 0x = -3.5 : (-0.5)(-5.5) / -0.5 = -5.5 < 0x = 0 : (3)(-1) / 3 = -1 < 0x = 3 : (6)(1) / 6 = 1 > 0

Теперь составим ответ, интервалы на которых неравенство выполняется:

(-бесконечность, -4) ∪ (2, +бесконечность)

Таким образом, областью определения данного выражения является множество всех действительных чисел кроме -4.