Для начала вычислим определитель основной матрицы системы:

[tex]D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & -1 & 2 \ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 1(-15-12) - 2(25-21) + 3(21-(-1*1)) = -7 - 16 + 9 = -14[/tex]

Теперь найдем определители для переменных x, y, z, заменяя соответствующий столбец правой части на столбец свободных членов и находим их значения:

[tex]D_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 6 & -1 & 2 \ -1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 1(-15-22) - 2(65-21) + 3(61-(-1*1)) = -9 - 52 + 21 = -40[/tex]

[tex]D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \ 2 & 6 & 2 \ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix} = 1(65-12) - 1(25-23) + 3(2(-1)-6*1) = 28 - 4 - 12 = 12[/tex]

[tex]D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & -1 & 6 \ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1(-1)-16) - 2(2(-1)-11) + 1(21-(-1)*1) = -5 - 3 + 3 = -5[/tex]

Итак, решение системы получаем делением определителей переменных на основной определитель:

[tex]x = \frac{D_x}{D} = \frac{-40}{-14} = \frac{20}{7}[/tex]

[tex]y = \frac{D_y}{D} = \frac{12}{-14} = -\frac{6}{7}[/tex]

[tex]z = \frac{D_z}{D} = \frac{-5}{-14} = \frac{5}{14}[/tex]

Поэтому решение системы уравнений:
[tex]x = \frac{20}{7}, y = -\frac{6}{7}, z = \frac{5}{14}[/tex]