Обозначим количество килограммов помидоров за (x), а количество килограммов лука за (y).
Условие задачи формализуется следующей системой уравнений:
[60x + 15y = 330,]
[x, y > 0.]
Необходимо выразить (x) через (y) из первого уравнения:
[60x = 330 - 15y,]
[x = \frac{330 - 15y}{60} = \frac{11 - \frac{y}{4}}{4}.]
Так как (x) и (y) должны быть положительными числами, то (y) можно принять в качестве кратного 4, принимая значения 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32.
Произведем замену [y = 4k, k \in \mathbb{N}, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.]
Тогда выразим (x) через (y):
[x = \frac{11 - \frac{1}{4}y}{4} = \frac{11 - k}{4}, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.]
Так как (x) и (y) должны быть положительными числами, то соответствующая пара будет:
[x = 5, y = 20.]
Ответ: мама купила 5 кг помидоров.