Для нахождения первообразной данной функции f(x) = 5x + 7x^2 воспользуемся интегрированием.

Интегрирование 5x даст нам 5/2 x^2, а интегрирование 7x^2 даст нам 7/3 x^3. Таким образом, первообразная функции f(x) будет равна:

F(x) = 5/2 x^2 + 7/3 x^3 + C,

где C - произвольная постоянная.

Чтобы найти значение постоянной С и удовлетворить условие задачи, подставим координаты точки M(1;15) в уравнение функции:

15 = 5/2 1^2 + 7/3 1^3 + C
15 = 5/2 + 7/3 + C
15 = 15/2 + 7/3 + C
C = 15 - 15/2 - 7/3
C = 45/2 - 15/2 - 14/6
C = 45/2 - 15/2 - 7/3
C = 45/2 - 21/6 - 14/6
C = 24/2 - 14/6
C = 12 - 7/3
C = 33/3 - 7/3
C = 26/3

Таким образом, первообразная функции, проходящая через точку M(1;15), будет равна:

F(x) = 5/2 x^2 + 7/3 x^3 + 26/3.