Пусть изначальная дробь равна xx+5\frac{x}{x+5}x+5x .
По условию задачи, мы можем записать уравнение:
xx+5+x+2x+5+3=12\frac{x}{x+5} + \frac{x+2}{x+5+3} = \frac{1}{2}x+5x +x+5+3x+2 =21
Упростим выражение:
xx+5+x+2x+8=12\frac{x}{x+5} + \frac{x+2}{x+8} = \frac{1}{2}x+5x +x+8x+2 =21
Сначала приведем дроби к общему знаменателю:
x(x+8)(x+5)(x+8)+(x+2)(x+5)(x+5)(x+8)=12\frac{x(x+8)}{(x+5)(x+8)} + \frac{(x+2)(x+5)}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{2}(x+5)(x+8)x(x+8) +(x+5)(x+8)(x+2)(x+5) =21
Получим:
x(x+8)+(x+2)(x+5)(x+5)(x+8)=12\frac{x(x+8) + (x+2)(x+5)}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{2}(x+5)(x+8)x(x+8)+(x+2)(x+5) =21
Раскроем скобки:
x2+8x+x2+7x+10(x+5)(x+8)=12\frac{x^2 + 8x + x^2 + 7x + 10}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{2}(x+5)(x+8)x2+8x+x2+7x+10 =21
Упростим числитель:
2x2+15x+10(x+5)(x+8)=12\frac{2x^2 + 15x + 10}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{2}(x+5)(x+8)2x2+15x+10 =21
Умножим обе части уравнения на 2(x+5)(x+8)2(x+5)(x+8)2(x+5)(x+8), чтобы избавиться от знаменателя:
2x2+15x+10=(x+5)(x+8)2x^2 + 15x + 10 = (x+5)(x+8)2x2+15x+10=(x+5)(x+8)
2x2+15x+10=x2+13x+402x^2 + 15x + 10 = x^2 + 13x + 402x2+15x+10=x2+13x+40
2x2+15x+10−x2−13x−40=02x^2 + 15x + 10 - x^2 - 13x - 40 = 02x2+15x+10−x2−13x−40=0
x2+2x−30=0x^2 + 2x - 30 = 0x2+2x−30=0
(x+6)(x−5)=0(x + 6)(x - 5) = 0(x+6)(x−5)=0
x=−6x = -6x=−6 или x=5x = 5x=5
Т.к. числитель не может быть отрицательным, то x=5x = 5x=5.
Исходная дробь равна 55+5=510=12\frac{5}{5 + 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}5+55 =105 =21 .
Пусть изначальная дробь равна xx+5\frac{x}{x+5}x+5x .
По условию задачи, мы можем записать уравнение:
xx+5+x+2x+5+3=12\frac{x}{x+5} + \frac{x+2}{x+5+3} = \frac{1}{2}x+5x +x+5+3x+2 =21
Упростим выражение:
xx+5+x+2x+8=12\frac{x}{x+5} + \frac{x+2}{x+8} = \frac{1}{2}x+5x +x+8x+2 =21
Сначала приведем дроби к общему знаменателю:
x(x+8)(x+5)(x+8)+(x+2)(x+5)(x+5)(x+8)=12\frac{x(x+8)}{(x+5)(x+8)} + \frac{(x+2)(x+5)}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{2}(x+5)(x+8)x(x+8) +(x+5)(x+8)(x+2)(x+5) =21
Получим:
x(x+8)+(x+2)(x+5)(x+5)(x+8)=12\frac{x(x+8) + (x+2)(x+5)}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{2}(x+5)(x+8)x(x+8)+(x+2)(x+5) =21
Раскроем скобки:
x2+8x+x2+7x+10(x+5)(x+8)=12\frac{x^2 + 8x + x^2 + 7x + 10}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{2}(x+5)(x+8)x2+8x+x2+7x+10 =21
Упростим числитель:
2x2+15x+10(x+5)(x+8)=12\frac{2x^2 + 15x + 10}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{2}(x+5)(x+8)2x2+15x+10 =21
Умножим обе части уравнения на 2(x+5)(x+8)2(x+5)(x+8)2(x+5)(x+8), чтобы избавиться от знаменателя:
2x2+15x+10=(x+5)(x+8)2x^2 + 15x + 10 = (x+5)(x+8)2x2+15x+10=(x+5)(x+8)
2x2+15x+10=x2+13x+402x^2 + 15x + 10 = x^2 + 13x + 402x2+15x+10=x2+13x+40
2x2+15x+10=x2+13x+402x^2 + 15x + 10 = x^2 + 13x + 402x2+15x+10=x2+13x+40
2x2+15x+10−x2−13x−40=02x^2 + 15x + 10 - x^2 - 13x - 40 = 02x2+15x+10−x2−13x−40=0
x2+2x−30=0x^2 + 2x - 30 = 0x2+2x−30=0
(x+6)(x−5)=0(x + 6)(x - 5) = 0(x+6)(x−5)=0
x=−6x = -6x=−6 или x=5x = 5x=5
Т.к. числитель не может быть отрицательным, то x=5x = 5x=5.
Исходная дробь равна 55+5=510=12\frac{5}{5 + 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}5+55 =105 =21 .