Для нахождения общего решения системы уравнений dx/dt = 2x+y и dy/dt = 3x+4y найдем частные производные данных уравнений по x и y.
d^2x/dt^2 = d/dt(2x+y) = 2(dx/dt) + dy/dt = 2(2x+y) + (3x+4y) = 7x + 6y
d^2y/dt^2 = d/dt(3x+4y) = 3(dx/dt) + 4(dy/dt) = 3(2x+y) + 4(3x+4y) = 15x + 19y
Теперь составим систему дифференциальных уравнений второго порядка:
d^2x/dt^2 = 7x + 6yd^2y/dt^2 = 15x + 19y
Общее решение данной системы может быть представлено в виде пары функций x(t) и y(t), которые удовлетворяют этой системе. В общем виде это будет:
x(t) = c1 exp((-3t)/2) cos((sqrt(15)t)/2) + c2 exp((-3t)/2) sin((sqrt(15)t)/2)y(t) = c1 exp((-3t)/2) sin((sqrt(15)t)/2) - c2 exp((-3t)/2) cos((sqrt(15)t)/2)
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Для нахождения общего решения системы уравнений dx/dt = 2x+y и dy/dt = 3x+4y найдем частные производные данных уравнений по x и y.
d^2x/dt^2 = d/dt(2x+y) = 2(dx/dt) + dy/dt = 2(2x+y) + (3x+4y) = 7x + 6y
d^2y/dt^2 = d/dt(3x+4y) = 3(dx/dt) + 4(dy/dt) = 3(2x+y) + 4(3x+4y) = 15x + 19y
Теперь составим систему дифференциальных уравнений второго порядка:
d^2x/dt^2 = 7x + 6y
d^2y/dt^2 = 15x + 19y
Общее решение данной системы может быть представлено в виде пары функций x(t) и y(t), которые удовлетворяют этой системе. В общем виде это будет:
x(t) = c1 exp((-3t)/2) cos((sqrt(15)t)/2) + c2 exp((-3t)/2) sin((sqrt(15)t)/2)
y(t) = c1 exp((-3t)/2) sin((sqrt(15)t)/2) - c2 exp((-3t)/2) cos((sqrt(15)t)/2)
где c1 и c2 - произвольные постоянные.