Исходное тождество:

ctg(2a) * tg(a) / (1 + tg^2(a)) = cos^2(a)

Для начала заменим ctg(2a) и tg(2a) через tg(a):

ctg(2a) = 1 / tg(2a) = 1 / [2tg(a) / (1 - tg^2(a))] = (1 - tg^2(a)) / 2tg(a)

Теперь заменим ctg(2a) и tg(a) в исходном тождестве:

[(1 - tg^2(a)) / 2tg(a)] * tg(a) / [1 + tg^2(a)] = cos^2(a)

[(1 - tg^2(a)) / 2] * [1 + tg(a)] = cos^2(a)

(1 - tg^2(a)) / 2 = cos^2(a)

cos^2(a) = cos^2(a)

Тождество доказано.