Производная от tg^4(x) равна 4tg^3(x) * (1 + tg^2(x)').

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

1) Дифференцируем tg^3(x), используя правило дифференцирования сложной функции:
(tg(x))' = 1/cos^2(x)
(tg^3(x))' = 3tg^2(x) * (1/cos^2(x))

2) Производная от tg^2(x) по x:
(tg(x))' = 1/cos^2(x)
(tg^2(x))' = 2tg(x) * (1/cos^2(x))

Теперь подставляем полученные результаты в исходное выражение:

4 3tg^2(x) (1/cos^2(x)) (1 + 2tg(x) (1/cos^2(x))) =
= 12tg^2(x)/cos^2(x) (1 + 2tg(x)/cos^2(x)) =
= 12tg^2(x)/cos^2(x) (1 + 2tg(x)/cos^2(x)) =
= 12tg^2(x)/cos^2(x) + 24tg^3(x)/cos^2(x) =
= 12tg^2(x)/cos^2(x) + 24tg^3(x)/cos^2(x).

Таким образом, производная от tg^4(x) равна 12tg^2(x)/cos^2(x) + 24tg^3(x)/cos^2(x).