Для того чтобы разложить многочлен на неприводимые над полем R множители, нужно найти все его корни. Для начала проверим наличие рациональных корней с помощью теоремы о рациональных корнях.

По теореме о рациональных корнях, рациональный корень многочлена будет делителем свободного члена многочлена (42) по модулю делителей старшего члена многочлена (1). Таким образом, все рациональные корни многочлена x^4 −3x^3 + 3x^2 −23x + 42 должны быть делителями 42.

Делители числа 42: ±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14, ±21, ±42.

Подставим найденные делители в многочлен x^4 −3x^3 + 3x^2 −23x + 42 и найдем рациональные корни:

При x = 1: 1 - 3 + 3 - 23 + 42 = 20 (не равно 0)
При x = -1: 1 + 3 + 3 + 23 + 42 = 72 (не равно 0)
При x = 2: 16 - 24 + 12 - 46 + 42 = 0

Получили, что x = 2 является корнем многочлена.

Делим многочлен x^4 −3x^3 + 3x^2 −23x + 42 на x - 2 с помощью синтетического деления:

x^4 −3x^3 + 3x^2 −23x + 42 = (x - 2)(x^3 - x^2 - 4x + 21)

Получили, что x^4 −3x^3 + 3x^2 −23x + 42 = (x - 2)(x^3 - x^2 - 4x + 21)

Продолжаем разложение множителя x^3 - x^2 - 4x + 21 на неприводимые множители. По аналогии установим отсутствие рациональных корней и продолжим поиск:

Подставим найденные делители в x^3 - x^2 - 4x + 21:
При x = 1: 1 - 1 - 4 + 21 = 17 (не равно 0)
При x = -1: -1 - 1 + 4 + 21 = 23 (не равно 0)
При x = 3: 27 - 9 - 12 + 21 = 27 (не равно 0)
При x = -3: -27 - 9 + 12 + 21 = -3 (не равно 0)
При x = 7: 343 - 49 - 28 + 21 = 287 (не равно 0)
При x = -7: -343 - 49 + 28 + 21 = -343 (не равно 0)
При x = 21: 9261 - 441 - 84 + 21 = 8747 (не равно 0)
При x = -21: -9261 - 441 + 84 + 21 = -9189 (не равно 0)

Таким образом, у многочлена x^3 - x^2 - 4x + 21 нет рациональных корней, что означает, что он неприводим по критерию рациональных корней.

Итак, разложение многочлена x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 23x + 42 на неприводимые множители над полем R:

x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 23x + 42 = (x - 2)(x^3 - x^2 - 4x + 21) = (x - 2)(x^3 - x^2 - 4x + 21)