Для нахождения количества различных треугольников, необходимо учесть все возможные варианты сторон и углов.

У нас дан треугольник со сторонами 6 и 7, и один из углов равен 20 градусам.
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то найдем третий угол:
180 - 20 - (угол между сторонами 6 и 7) = третий угол.

Угол между сторонами 6 и 7 можно найти по теореме косинусов:
cos(угол между сторонами 6 и 7) = (6^2 + 7^2 - x^2) / (2 6 7),
где x - искомый угол.
cos(x) = (36 + 49 - x^2) / 84,
x^2 = 85 - (15 * cos(x)).

Подставим угол 20 градусов в формулу и найдем различные значения угла между сторонами 6 и 7.
x^2 = 85 - (15 * cos(20)) ≈ 74,95.

Теперь у нас есть три угла треугольника: 20 градусов, угол между сторонами 6 и 7 и третий угол.
Чтобы найти количество различных треугольников, нужно учитывать всевозможные комбинации углов и перестановки сторон, учитывая угловые симметрии. Таким образом, у нас будет несколько различных треугольников, удовлетворяющих заданным условиям.

Итак, существует более одного (точное количество треугольников можно будет подсчитать только после вычисления угла между сторонами 6 и 7).