Для доказательства того, что число (84^{20}+101^{19}) делится на 17, можно воспользоваться теоремой Ферма.

Теорема Ферма утверждает, что если простое число (p) не делится на некоторое целое число (a) (т.е. ((a,p) = 1)), то для любого целого числа (n) выполняется следующее условие: (a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}).

В данном случае нам нужно доказать, что (84^{20}+101^{19}) делится на 17. Проверим, выполняется ли условие теоремы Ферма для числа 17 и чисел 84 и 101:

(84^{16} \equiv 1 \pmod{17}), т.к. (84^{16} \equiv (3^4)^4 \equiv 81^4 \equiv 13^4 \equiv 1 \pmod{17})

(101^{16} \equiv 1 \pmod{17}), т.к. (101^{16} \equiv (5^4)^4 \equiv 625^4 \equiv 1 \pmod{17})

Теперь рассмотрим выражение (84^{20}+101^{19}):

(84^{20}+101^{19} \equiv 84^{20}+101 \cdot 101^{18} \equiv 84^{20}+101 \cdot 1 \pmod{17})

Учитывая то, что (84^{16} \equiv 1 \pmod{17}), мы можем преобразовать выражение следующим образом:

(84^{20}+101 \equiv (84^{16})^1 \cdot 84^4+101 \equiv 1 \cdot 1 + 101 \equiv 1 + 101 \equiv 102 \equiv 0 \pmod{17}).

Таким образом, мы доказали, что число (84^{20}+101^{19}) делится на 17.