Мы можем решить данное уравнение методом подстановок. Предположим, что x и y - целые числа.

Уравнение, которое дано: x^2 - 11xy + 24y^2 = 31

Давайте попробуем найти рациональные корни уравнения.

Так как в данном уравнении коэффициенты перед x^2, xy и y^2 положительные, можно предположить, что x и y - также положительные числа.

Идея заключается в том, чтобы заменить x^2 на y^2 и наоборот, так как у уравнения симметричное относительно переменных x и y.

x^2 - 11xy + 24y^2 = 31

Заменим x^2 на 24y^2: 24y^2 - 11xy + 24y^2 = 31
Получаем: 48y^2 - 11xy = 31

11xy = 48y^2 - 31

11xy = 11(4y^2) - 31

xy = 4y^2 - 31/11

Пробуем подставить различные значения y (начиная с 1) и находим, что первым целочисленным решением будет x = 7, y = 1.

Таким образом, решением уравнения x^2 - 11xy + 24y^2 = 31 в целых числах является x = 7, y = 1.