Для нахождения производной функции f(x) = (x-2)ctgx, воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций.

Найдем производную первой функции (x-2):
f'(x) = 1

Найдем производную второй функции ctgx:
(ctgx)' = -csc^2(x) = -1/sin^2(x)

Теперь используем правило дифференцирования произведения функций:
f'(x) = (x-2)(-1/sin^2(x)) + 1*ctgx
f'(x) = -ctgx/sin^2(x) + ctgx

Таким образом, производная функции f(x) = (x-2)ctgx равна -ctgx/sin^2(x) + ctgx.