Для нахождения всех целочисленных решений уравнения 5x + 3y = 171 и 16x^2 + 8xy - 3y^2 + 19 = 0 будем использовать метод исключения переменных.

Из первого уравнения получаем, что y = (171 - 5x) / 3.

Подставляем это значение y во второе уравнение:

16x^2 + 8x(171 - 5x)/3 - 3((171 - 5x) / 3)^2 + 19 = 0,

Упрощаем:

16x^2 + (456 - 40x)/3 - (171 - 5x)^2/3 + 19 = 0,

Переходим к общему знаменателю:

48x^2 + 456 - 40x - (171 - 5x)^2 + 57 = 0,
48x^2 + 216 - 40x - 57x^2 + 171x - 25 = 0,
-9x^2 + 131x - 41 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение:

x = (-131 + sqrt(131^2 + 4941)) / (-18) ≈ 6.259, либо
x = (-131 - sqrt(131^2 + 4941)) / (-18) ≈ 4.641.

Таким образом, целочисленные решения данного уравнения отсутствуют.