Для начала найдем полупериметр треугольника: p = (9 + 10 + 11) / 2 = 15.

Радиус вписанной окружности выражается формулой: r = sqrt((p - a)(p - b)(p - c) / p), где a, b, c - стороны треугольника.

r = sqrt((15 - 9)(15 - 10)(15 - 11) / 15) = sqrt(6 5 4 / 15) = sqrt(8) = 2√2.

Точка касания окружности делит сторону, равную 10, на два отрезка: x и 10 - x.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике получаем:
x^2 + (2√2)^2 = (9 + 10 - x)^2
x^2 + 8 = (19 - x)^2
x^2 + 8 = 361 - 38x + x^2
38x = 353
x = 353 / 38 = 8.14 (округляем до 2 знаков)

Таким образом, длина наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10, равна 8.14.