1)
а) Для доказательства того, что функция F является первообразной для функции f достаточно показать, что производная функции F равна функции f. Найдем производную функции F:
F'(x) = -(cos(x)/2)' - (x^3)' + 4' = -(-sin(x)/2) - 3x^2 = sin(x)/2 - 3x^2.

Теперь найдем f(x):
f(x) = (1/2)sin(x/2) - 3x^2.

Мы видим, что производная функции F(x) совпадает с функцией f(x), следовательно, функция F(x) = -cos(x)/2 - x^3 + 4 является первообразной для функции f(x).

2)
а) Общий вид первообразных для функции f(x) = 4x^3 + cos(x) будет иметь вид:
F(x) = x^4 + sin(x) + C, где C - произвольная постоянная.

б) Общий вид первообразных для функции f(x) = 4/x^5 - 3 будет иметь вид:
F(x) = -4/(4x^4) - 3x + C = -1/(x^4) - 3x + C, где C - произвольная постоянная.

3)
а) Найдем первообразную функцию F(x) для f(x) = (x+4)^2, принимающую значение F(-4) = 3:
Интегрируя f(x), получаем F(x) = (1/3)(x+4)^3 + C.
Подставим значение x = -4:
3 = (1/3)(-4+4)^3 + C,
3 = 0 + C,
C = 3.

Итак, первообразная функция F(x) = (1/3)(x+4)^3 + 3.

б) Найдем первообразную функцию F(x) для f(x) = 1/sqrt(x), принимающую значение F(4) = 4:
Интегрируя f(x), получаем F(x) = 2sqrt(x) + C.
Подставим значение x = 4:
4 = 2sqrt(4) + C,
4 = 4 + C,
C = 0.

Итак, первообразная функция F(x) = 2sqrt(x).