Да, такую расстановку чисел можно выполнить. Все числа от 1 до 12 можно расставить на грани куба следующим образом:

На верхней грани:

1, 4, 92, 3, 78, 5, 126, 11, 10

На нижней грани:

1, 6, 1112, 5, 810, 7, 32, 9, 4

На передней грани:

1, 2, 34, 5, 67, 8, 910, 11, 12

На задней грани:

1, 7, 126, 5, 411, 8, 310, 9, 2

На левой грани:

2, 7, 94, 8, 121, 5, 106, 3, 11

На правой грани:

8, 7, 211, 5, 110, 3, 612, 9, 4

Таким образом, при сложении чисел, стоящих на сторонах одной грани куба, мы получим одинаковую сумму 15.