Для нахождения наименьшего значения функции f(x) на отрезке [0;2] нужно найти точку, в которой достигается минимум функции.

Для этого продифференцируем функцию f(x) и приравняем производную к нулю:

f'(x) = log1(x+2) + 1 = 0
log1(x+2) = -1
x + 2 = 1
x = -1

Точка x = -1 не принадлежит отрезку [0;2], поэтому проверим значения функции на границах отрезка:

f(0) = (0+2)log1(0+2) = 2log1(2) = 21 = 2
f(2) = (2+2)log1(2+2) = 4log1(4) = 42 = 8

Следовательно, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [0;2] равно 2 и достигается при x = 0.