Для нахождения обратной функции к функции f(x) := ( e^x - e^(-x) ) / 2, сначала переименуем f(x) как y:

y = ( e^x - e^(-x) ) / 2

Затем решим уравнение относительно x:

y = ( e^x - e^(-x) ) / 2
2y = e^x - e^(-x)

Умножим обе части уравнения на e^x:

2y * e^x = e^(2x) - 1

Пусть z = e^x. Тогда уравнение примет вид:

2y * z = z^2 - 1
z^2 - 2yz - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно z:

z = (2y ± √(4y^2 + 4)) / 2
z = y ± √(y^2 + 1)

Таким образом, обратная функция к f(x) = ( e^x - e^(-x) ) / 2 будет:

f^(-1)(y) = ln( y + √(y^2 + 1) )