Предположим, что в начале и в конце промежутка времени ни один из бассейнов не был пустым. Обозначим через $x$, $y$ и $z$ количество воды в первом, втором и третьем бассейнах соответственно в начале.
Так как в начале в первом бассейне было столько же воды, сколько в двух других в сумме, то $x=y+z$.
Через некоторое время во втором бассейне стало столько же воды, сколько в двух других в сумме, то есть $y = x + z$. То есть, два из трех чисел одинаковы, а это возможно только в случае, когда все три числа равны.

Но тогда в третьем бассейне также будет столько же воды, сколько в первых двух в сумме, что противоречит условию задачи о том, что ни один из бассейнов не был пустым в начале.

Таким образом, невозможно, чтобы ни в начале, ни в конце промежутка времени ни один из бассейнов не был пустым.