Для определения критических точек функции f(x) необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю:

f'(x) = (2(1+x^2) - 2x2x)/(1+x^2)^2 = (2 - 2x^2)/(1+x^2)^2 = 0

Теперь найдем нули производной функции:

2 - 2x^2 = 0
2 = 2x^2
x^2 = 1
x = ±1

Таким образом, найденные критические точки функции f(x) равны x = -1 и x = 1.

Теперь проведем исследование экстремумов в найденных критических точках:

Для x = -1:
f''(-1) = 2*(1 + (-1)^2)/((1+(-1)^2)^2) = 4/4 = 1

Так как f''(-1) > 0, то точка x = -1 является точкой локального минимума.

Для x = 1:
f''(1) = 2*(1 + 1^2)/((1+1^2)^2) = 4/4 = 1

Так как f''(1) > 0, то точка x = 1 является точкой локального минимума.

Итак, функция f(x) = 2x/(1+x^2) имеет две точки экстремума: локальный минимум при x = -1 и локальный минимум при x = 1.