Для доказательства того, что x^2+y^2+8x-10y+42 больше 0, нужно продемонстрировать, что данное выражение всегда положительно для любых значений x и y.

Для начала преобразуем данное выражение к виду:

x^2 + 8x + y^2 - 10y + 42

Теперь нужно доказать, что это выражение больше 0. Для этого можно воспользоваться методом завершения квадрата.

x^2 + 8x +16 + y^2 - 10y + 25 + 1

x^2 + 8x + 16 + y^2 - 10y + 25 = (x + 4)^2 + (y - 5)^2

Таким образом, выражение равно:

(x + 4)^2 + (y - 5)^2 + 1

Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то первые два слагаемых всегда положительны. Таким образом, исходное выражение x^2+y^2+8x-10y+42 всегда больше 0.

Таким образом, выражение x^2+y^2+8x-10y+42 больше 0 для любых значений x и y.