Для начала выполним замену переменных: пусть u=2π(x+1/2), тогда x=(u/2π)-1/2.
Теперь подставим это в выражение:
lim x->0 ln(1+2x)/tg(2π(x+1/2)) = lim u->π ln(1+u/π)/tg(u)

Теперь воспользуемся бесконечно малыми заменами:
ln(1+u/π) ≈ u/π, при u->0 и tg(u) ≈ u, при u->0

Подставим полученные эквивалентности:
lim u->π (u/π)/u = 1/π

Ответ: lim x->0 ln(1+2x)/tg(2π(x+1/2)) = 1/π.