Некоторое натуральное число при делении на 5 дает в остатке 1, а другое число при делении на 5 дает в остатке 2. Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на 5
Некоторое натуральное число при делении на 5 дает в остатке 1, а другое число при делении на 5 дает в остатке 2. Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на 5
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Пусть первое число равно a, а второе число равно b.
Тогда мы можем записать:
a ≡ 1 mod5mod 5mod5 b ≡ 2 mod5mod 5mod5
Таким образом, a = 5k + 1 и b = 5m + 2 для некоторых целых k и m.
Сумма квадратов этих чисел:
a^2 + b^2 = 5k+15k + 15k+1^2 + 5m+25m + 25m+2^2
= 25k^2 + 10k + 1 + 25m^2 + 20m + 4
= 25k2+m2k^2 + m^2k2+m2 + 10k+mk + mk+m + 5
Так как k^2 + m^2 и k + m - это целые числа, то сумма квадратов a^2 + b^2 делится на 5.