Обозначим первый член геометрической прогрессии как (a) и знаменатель прогрессии как (q).

Тогда пятый и девятый члены прогрессии будут равны (a \cdot q^4) и (a \cdot q^8) соответственно.

Из условия задачи известно, что (a \cdot q^4 + a \cdot q^8 = 7).

Также известно, что (a \cdot q^5 \cdot a \cdot q^7 = 12).

Из этого уравнения можно выразить значения (a) и (q) и подставить их в формулу для суммы квадратов.

(a = \sqrt{12}) и (q = \sqrt{\frac{12}{a^2}}).

Таким образом, (a = 2), (q = 3).

Сумма квадратов пятого и девятого членов прогрессии равна ((a \cdot q^4)^2 + (a \cdot q^8)^2 = (2 \cdot 3^4)^2 + (2 \cdot 3^8)^2 = 5184 + 17496 = 22680).