Параллелограмм двумя пересекающимися прямыми разделили на 4 четырехугольника. Известно, что вокруг одного из них можно описать окружность. Докажите, что вокруг каждого из оставшихся четырехугольников также можно описать окружность.
Параллелограмм двумя пересекающимися прямыми разделили на 4 четырехугольника. Известно, что вокруг одного из них можно описать окружность. Докажите, что вокруг каждого из оставшихся четырехугольников также можно описать окружность.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим вершины параллелограмма как A, B, C, D (AB || CD, BC || DA).
Пусть P — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда треугольники APB и CPD подобны, так как у них соответственные углы равны (из параллельности сторон).
Также заметим, что углы APC и BPD дополнительны (из параллельности сторон).
Таким образом, докажем, что четырехугольник PBCD описывается окружностью.
∠PCB = ∠PAB (по подобию треугольников)
∠PDC = ∠PBA
∠PCD = ∠PBD
Отсюда следует, что ∠PCD = ∠PBD = ∠BAD
Таким образом, четырехугольник PBCD описывается окружностью.
Аналогично рассмотрим четырехугольники PACD и PABD. Так как в них также соблюдаются все условия, то они также описываются окружностью.
Итак, вокруг каждого из оставшихся четырехугольников параллелограмма можно описать окружность.