Для нахождения экстремумов функции (f(x) = \frac{x^4}{4} - x + 5) необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Находим производную функции (f'(x) = x^3 - 1).

Теперь находим точки экстремума, приравняв производную к нулю:

(x^3 - 1 = 0)

(x^3 = 1)

Решаем это уравнение:

(x = 1)

Таким образом, точка экстремума функции (f(x)) находится при (x = 1).

Чтобы определить, является ли это точка минимума или максимума, можно провести вторую производную и проверить ее знак.

(f''(x) = 3x^2)

Подставляем (x = 1):

(f''(1) = 3 \cdot 1^2 = 3)

Так как вторая производная положительна, значит точка (x = 1) является точкой минимума функции (f(x) = \frac{x^4}{4} - x + 5).

Итак, минимум функции находится при (x = 1) и равен (f(1) = \frac{1}{4} - 1 + 5 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} + \frac{20}{4} = \frac{17}{4}).