Дано:
а = 45 (длина одной из сторон треугольника)
x = угол лежащий против стороны а
2x = угол лежащий против третьей стороны

Согласно теореме синусов, отношение длин сторон к синусам противолежащих углов равно для всех сторон треугольника.

Сначала найдем синусы углов:
sin x = a / c
sin 2x = b / c

Заменяем значения:
sin x = 45 / c
sin 2x = 4 / c

Согласно формуле для синуса удвоенного угла:
sin 2x = 2 sin x cos x

Подставляем значения и решаем:
4 / c = 2 (45 / c) cos x
4c = 90cos x

Также известно, что cos^2 x = 1 - sin^2 x
cos^2 x = 1 - (45 / c)^2
cos^2 x = 1 - 2025 / c^2
cos x = sqrt(1 - 2025 / c^2)

Теперь подставляем значения и решаем уравнение из предыдущего шага:
4c = 90 sqrt(1 - 2025 / c^2)
4c = 90 sqrt((c^2 - 2025) / c^2)
16c^2 = 8100 * (c^2 - 2025)
16c^2 = 8100c^2 - 18225000
8099c^2 = 18225000
c^2 = 2250
c = √2250
c ≈ 47.43

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет примерно 47.43.