Обозначим первый член прогрессии через (a), а знаменатель прогрессии через (q). Тогда первые три члена прогрессии равны (a, aq, aq^2).

Из условия задачи имеем систему уравнений:
[\begin{cases}
aq = 64 \
\frac{a+aq+aq^2}{3} = \frac{14}{3}
\end{cases}]

(aq = 64 \Rightarrow a = \frac{64}{q})

Подставим это значение (a) во второе уравнение и решим его относительно (q):
[\frac{\frac{64}{q} + 64 + 64q}{3} = \frac{14}{3}]
[\frac{64+64q^2+64q}{3q} = 14]
[\frac{64(q^2+q+1)}{3q} = 14]
[64(q^2+q+1) = 42q]
[64q^2 + 64q + 64 = 42q]
[64q^2 + 22q - 64 = 0]

По формуле дискриминанта для квадратного уравнения получаем:
[D = 22^2 - 4 \cdot 64 \cdot (-64) = 484 + 16384 = 16868]

[q_{1,2} = \frac{-22 \pm \sqrt{16868}}{128}]
[q_1 = \frac{-22 + \sqrt{16868}}{128} \approx 0.5]
[q_2 = \frac{-22 - \sqrt{16868}}{128} \approx -1]

Так как (q) – знаменатель прогрессии, то (q > 0). Поэтому примем значение (q = q_1 \approx 0.5). Тогда находим первый член прогрессии:
[a = \frac{64}{q} = \frac{64}{0.5} = 128]

Теперь можем найти сумму первых пяти членов прогрессии:
[S_5 = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4]
[S_5 = 128 + 128 \cdot 0.5 + 128 \cdot 0.5^2 + 128 \cdot 0.5^3 + 128 \cdot 0.5^4]
[S_5 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 = 248]

Итак, сумма первых пяти членов прогрессии равна 248.