Для решения этой задачи нам нужно найти формулу общего члена арифметической прогрессии, в которой сумма четвертого и десятого членов равна 10.

Пусть первый член прогрессии a, а разность d $еслипрогрессияубывающаяdбудетотрицательным$.

Тогда четвертый член прогрессии будет a + 3d, а десятый член прогрессии будет a + 9d.

Условие задачи можно записать в виде уравнения: $a+3d$ + $a+9d$ = 10 или 2a + 12d = 10.

Далее, нам нужно найти сумму первых 13 членов прогрессии. Общая сумма членов арифметической прогрессии S_n вычисляется по формуле: S_n = $n/2$$2a+(n-1)d$, где n - количество членов прогрессии.

Подставим известные значения: n = 13, a = a, d = d.

S_13 = $13/2$$2a+12d$ = 13$2a+12d$ = 26a + 156d.

Теперь нам нужно найти значения a и d, решив систему уравнений:

1) 2a + 12d = 10
2) a + 3d = a_3, где a_3 - третий член прогрессии

Из $2$ следует: a = a_3 - 3d

Подставим в $1$ и решим систему уравнений.

2$a_3-3d$ + 12d = 10
2a_3 - 6d + 12d = 10
2a_3 + 6d = 10
a_3 + 3d = 5

Теперь можем найти a_3, используя a_3 = a + 2d:

a + 2d + 3d = 5
a + 5d = 5
a = 5 - 5d

Теперь заменим a на 5 - 5d в формуле общего члена прогрессии a_n = a + $n-1$d и найдем 13 членов прогрессии:

a_13 = 5 - 5d + 12d = 5 + 7d.

Теперь можем найти сумму первых 13 членов прогрессии:

S_13 = 13$2a+12d$ = 13$$2(5+7d)+12d$$ = 13$10+26d$ = 130 + 338d.

Итак, сумма первых тринадцати членов арифметической прогрессии равна 130 + 338d.