Для определения интервалов вогнутости и выпуклости функции Y= x^4-4x+x+12 проведем анализ второй производной этой функции.

Первая производная:
Y' = 4x^3 - 4

Вторая производная:
Y'' = 12x^2

Теперь найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
12x^2 = 0
x^2 = 0
x = 0

Теперь определим знак второй производной для интервалов вокруг точки перегиба:

При x < 0: Y'' < 0, значит функция в этом интервале вогнута.При x > 0: Y'' > 0, значит функция в этом интервале выпукла.

Итак, интервалы вогнутости и выпуклости функции:

Функция вогнута при x < 0Функция выпукла при x > 0

Таким образом, точка перегиба функции Y= x^4-4x+x+12 находится в точке (0, 12), интервал вогнутости - от минус бесконечности до 0, интервал выпуклости - от 0 до плюс бесконечности.