Для нахождения косинуса угла А воспользуемся теоремой косинусов:
cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 BC AC),

где BC - основание треугольника АВС,
AC - боковая сторона треугольника АВС.

По условию известно, что BC = AB = 10 и ВК = 4 * √6.

Используем теорему Пифагора для треугольника АВК:
VK^2 + BK^2 = AB^2,
(4√6)^2 + BK^2 = 10^2,
24 + BK^2 = 100,
BK^2 = 76.

Теперь найдем AC, рассмотрев треугольник ВКС:
VK/BC = CK/AC,
AC = BC CK / VK,
AC = 10 √6 / 4√6,
AC = 10 / 4 = 5.

Теперь можем найти косинус угла А:
cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 BC AC),
cos(A) = (10^2 + 5^2 - 10^2) / (2 10 5),
cos(A) = (100 + 25 - 100) / 100,
cos(A) = 25 / 100,
cos(A) = 0.25.

Ответ: cos(A) = 0.25.