Для нахождения наибольшего значения функции f$x$ на промежутке $$0,2$$ необходимо найти значения функции в крайних точках и в точках, где её производная равна нулю.

f$x$ = x^3 - 6x^2 + 9x + 3

f$0$ = 0 - 0 + 0 + 3 = 3

f$2$ = 2^3 - 62^2 + 92 + 3 = 8 - 24 + 18 + 3 = 5

Теперь найдем значения производной функции f$x$:

f'$x$ = 3x^2 - 12x + 9

f'$x$ = 3$x^2-4x+3$ f'$x$ = 3$x-3$$x-1$

Точки, где производная равна нулю: x = 3 и x = 1

Подставим найденные точки в функцию f$x$:

f$1$ = 1 - 6 + 9 + 3 = 7
f$3$ = 27 - 54 + 27 + 3 = 3

Таким образом, наибольшее значение функции f$x$ = x^3 - 6x^2 + 9x + 3 на промежутке $$0,2$$ равно 7.