Для нахождения экстремумов функции f(x) на промежутке [3;5] нужно найти значения функции на концах промежутка и в критических точках (где производная равна нулю).

Найдем значения функции на концах промежутка:
f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 72(3) + 3 = 54 - 27 - 216 + 3 = -186
f(5) = 2(5)^3 - 3(5)^2 - 72(5) + 3 = 250 - 75 - 360 + 3 = -182

Найдем критические точки функции:
f'(x) = 6x^2 - 6x - 72 = 0
6(x^2 - x - 12) = 0
6(x - 4)(x + 3) = 0
x1 = 4, x2 = -3

Найдем значения функции в найденных критических точках:
f(4) = 2(4)^3 - 3(4)^2 - 72(4) + 3 = 128 - 48 - 288 + 3 = -205
f(-3) = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 72(-3) + 3 = -54 - 27 + 216 + 3 = 138

Самое большое значение функции на промежутке [3;5] равно -182 (f(5)), а самое маленькое значение равно -205 (f(4)).