Функция y=sin(4x/5) имеет период T=2π/(4/5)=5.

Для доказательства периодичности функции y=sin(4x/5) необходимо показать, что для любого x верно следующее:

sin(4(x+T)/5) = sin(4x/5)

Подставим период T=5:

sin(4(x+5)/5) = sin(4x/5)

Упрощаем:

sin(4x+4)/5 = sin(4x/5)

Используем формулу произведения синусов:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

sin(4x)cos(4/5) + cos(4x)sin(4/5) = sin(4x)

Так как sin(4/5) = 0 и cos(4/5) = -1, имеем:

0sin(4x) + (-1)cos(4x) = sin(4x)

Таким образом, мы видим, что sin(4x) = -cos(4x), что верно для любого x.

Следовательно, функция y=sin(4x/5) является периодической с периодом T=5.