Для решения данного интеграла используем метод интегрирования по частям.

Исходный интеграл ∫(x+1)arctgxdx выглядит как произведение двух функций, x+1 и arctgx. Выберем первую функцию u = arctgx и вторую функцию dv = (x+1)dx.

Тогда, по формуле интегрирования по частям, ∫u dv = uv - ∫v du. Подставляем значения u, dv, v и du:

u = arctgx
dv = (x+1)dx
v = ∫(x+1)dx = x^2/2 + x
du = dx/(1+x^2) = arctgx dx

Получаем:

∫(x+1)arctgxdx = arctgx (x^2/2 + x) - ∫(x^2/2 + x) arctgx dx

Далее интегрируем получившийся интеграл:

∫(x^2/2 + x) arctgx dx = ∫(x^2/2 arctgx + x * arctgx) dx

Вычисляем данные интегралы и подставляем обратно в исходный интеграл.

Итак, ∫(x+1)arctgxdx = arctgx (x^2/2 + x) - (arctgx x^2/2 - ∫x^2/2 arctgx + x arctgx dx)

Окончательный ответ на интеграл ∫(x+1)arctgxdx будет содержать четыре компоненты, включая два вычисленных интеграла и два оставшихся для вычисления.