Дано: AB = 5AC, AP = 12 см

Из условия AB = 5AC, мы можем записать:

AC + AC + AC + AC + AC = 5AC = AB

Так как AC + AC + AC + AC + AC = AB = AB = AP + PB = 12 + PB

12 + PB = AB = 5AC

PB = 5AC - 12

Так как BH перпендикулярно AC, то мы можем записать:

AC^2 + CB^2 = AB^2

AC^2 + BH^2 = AB^2

AC^2 + BH^2 = (5AC)^2

AC^2 + BH^2 = 25AC^2

BH^2 = 25AC^2 - AC^2

BH^2 = 24AC^2

BH = sqrt(24AC^2)

Так как мы знаем, что AP = 12 см, то можем найти длину AC используя теорему Пифагора:

AC^2 + AP^2 = AB^2

AC^2 + 12^2 = (5AC)^2

AC^2 + 144 = 25AC^2

144 = 24AC^2

AC^2 = 144 / 24

AC^2 = 6

AC = sqrt(6)

Теперь можем найти BH:

BH = sqrt(24*(sqrt(6))^2)

BH = sqrt(24*6)

BH = 2sqrt(24)

BH = 2 sqrt(46)

BH = 2 2 sqrt(6)

BH = 4 * sqrt(6)

Таким образом, BH = 4 * sqrt(6) см.