a) При x≠1 и x≠-1

Так как y=1/(x^2-1)=1/[(x-1)(x+1)], то y - это сумма просторных дробей:

y=A/(x-1)+B/(x+1),

где A и B - неизвестные коэффициенты.

Умножим обе стороны на (x-1)(x+1):

1=A(x+1)+B(x-1)=Ax+A+ Bx-B=(A+B)x+A-B.

Исходное уравнение станет следующим при x=1:

A(1+1)+B(1-1)=2A=1, A=1/2.

При x=-1:

В результате (A+B)x+A-B=0*(-1)+A-B=-2B=-1, B=1/2.

Следовательно, y=1/2(x-1)+1/2(x+1)=1/x^2-1.

б) При x≠1 и x≠-1

Так как y=1/(x^2+1), уравнение y приобретает вид:

y=A/(x-1)+B/x,

где A и B - неизвестные коэффициенты.

Умножим обе стороны на (x^2+1):

1=Ax+B(x^2+1)=Bx^2+Ax+B,

Отсюда A=0 и B=1,

следовательно, y=1/x^2+1.