Пусть длина меньшего основания трапеции равна х, тогда длина средней линии равна (16 + х)/2.

Так как диагональ делит среднюю линию в отношении 3/4 к 3, то получаем уравнение:

(16 + х)/2 = 3/(3+4) * х

(16 + х)/2 = 3/7 * х

16 + х = 3/7 2 х

16 + х = 6/7 * х

16 = 6/7 * х

16 * 7 / 6 = х

Таким образом, получаем х = 28/3

Теперь найдем длину диагонали. Площадь трапеции равна 40√6, используем формулу площади трапеции:

S = (a + b) * h / 2

40√6 = (16 + 28/3)*h / 2

80√6 = 163 + 28h

80√6 = 48 + 28*h

28*h = 80√6 - 48

h = (80√6 - 48) / 28

Теперь найдем длину диагонали с помощью теоремы Пифагора:

d = √(h^2 + (b - a)^2)

d = √(((80√6 - 48) / 28)^2 + (16 - 28/3)^2)

d = √(((80√6 - 48)^2 / 28^2) + (48/3 - 28/3)^2)

d = √(((64006 - 7680√6 + 2304) / 784) + (20/3)^2)

d = √((38400 - 7680√6 + 2304) / 784 + 100/9)

d = √((40704 - 7680√6) / 784 + 100/9)

d = √(51√6 + 40704) / 784 + 100/9

d = √(51√6 + 40704) / 784 + 900 / 9

Ответ: длина диагонали равна √(51√6 + 40704) / 784 + 100.